Question

已知橢圓C：（a＞b＞0）的一個焦點到長軸的兩個端點的距離分別為2+和2-．
（1）求橢圓的方程；
（2）設過定點M（0，2）的直線l與橢圓C交于不同的兩點A、B，且∠AOB為銳角（其中O為坐標原點），求直線l的斜率k的取值范圍．
（3）如圖，過原點O任意作兩條互相垂直的直線與橢圓（a＞b＞0）交于P，S，R，Q四點，設原點O到四邊形PQSR一邊的距離為d，試求d=1時a，b滿足的條件．

Answer 1

【答案】分析：（1）由橢圓的幾何性質可得焦點到長軸的兩個端點的距離分別為a+c和a-c，再把所給數值代入即可．
（2）斜率k的取值范圍，須將k用其它參數表示，先設直線l的方程，代入橢圓方程，求x₁+x₂和x₁x₂，再根據∠AOB為銳角得到向量的數量積大于0，用直線l的斜率k表示的數量積，即可得到k的范圍．
（3）先根據橢圓的對稱性判斷PQSR是菱形，原點O到各邊的距離相等．設四邊形PQSR的一條對角線的方程，根據菱形對角線互相垂直，可得另一條對角線的方程，分別與橢圓方程聯立，再借助菱形各邊長相等，即可得到a，b滿足的條件．
解答：解：（1）由題意得，解得a=2，c=，b=1
所求的方程為
（2）顯然直線x=0不滿足題設條件，可設直線l：y=kx+2，A（x₁，y₁）
由得（1+4k²）x²+16kx+12=0．
∵△=（16k）²-4×12（1+4k²）＞0，∴k∈（-∞，-）∪（，+∞）（1）
又x₁+x₂=，
由0°＜∠AOE＜90°?∴
所以=x₁x₂+（kx₁+2）（kx₂+2）
=（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=+2k+4＞0
∴-2＜k＜2  （2）
由（1）（2）得：k∈（-2，-）∪（，2）．
（3）由橢圓的對稱性可知PQSR是菱形，原點O到各邊的距離相等．
當P在y軸上，Q在x軸上時，直線PQ的方程為，由d=1得，
當P不在y軸上時，設直線PS的斜率為k，P（x₁，kx₁），則直線RQ的斜率為-，Q（x₂，-）
由，得（1），同理（2）
在Rt△OPQ中，由d|PQ|=|OP||OQ|，即|PQ|²=|OP|²•|OQ|²
所以，化簡得，
k²（）+=1+k²，即．
綜上，d=1時a，b滿足條件
點評：本體考查了橢圓性質的應用，以及判斷直線與橢圓位置關系時，韋達定理的應用．