Question

已知不等式ax²＋bx＋c>0的解集為(1，t)，記函數f(x)＝ax²＋(a－b)x－c.
(1)求證：函數y＝f(x)必有兩個不同的零點；
(2)若函數y＝f(x)的兩個零點分別為m，n，求|m－n|的取值范圍；
(3)是否存在這樣的實數a，b，c及t使得函數y＝f(x)在[－2,1]上的值域為[－6,12]？若存在，求出t的值及函數y＝f(x)的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）見解析   （2）(，＋∞)   （3）f(x)＝－2x²－8x＋4.

解：(1)證明：由題意知a＋b＋c＝0，且－>1，a<0且>1，
∴ac>0，
∴對于函數f(x)＝ax²＋(a－b)x－c有Δ＝(a－b)²＋4ac>0，
∴函數y＝f(x)必有兩個不同零點．
(2)|m－n|²＝(m＋n)²－4mn＝＝＝()²＋8＋4，
由不等式ax²＋bx＋c>0的解集為(1，t)可知，
方程ax²＋bx＋c＝0的兩個解分別為1和t(t>1)，
由根與系數的關系知＝t，
∴|m－n|²＝t²＋8t＋4，t∈(1，＋∞)．
∴|m－n|>，∴|m－n|的取值范圍為(，＋∞)．
(3)假設存在滿足題意的實數a，b，c及t，
∵f(x)＝ax²＋(a－b)x－c＝a[x²＋(1－)x－]
＝a[x²＋(1＋)x－]
＝a[x²＋(2＋t)x－t](t>1)，
∴f(x)的對稱軸為x＝－1－<－.
∴f(x)在[－2,1]上的最小值為f(1)＝3a＝－6，則a＝－2.
要使函數y＝f(x)在[－2,1]上的值域為[－6,12]，
只要f(x)_max＝12即可．
①若－1－≤－2，即t≥2，f(x)_max＝f(－2)＝12，則有6t＝12，
∴t＝2.
此時，a＝－2，b＝6，c＝－4，t＝2，∴f(x)＝－2x²－8x＋4.
②若－1－>－2，∴1<t<2，f(x)_max＝f(－1－)＝＝12.
∴t＝2或t＝－10，舍去．
綜上所述，當a＝－2，b＝6，c＝－4，t＝2時，函數y＝f(x)在[－2,1]上的值域為[－6,12]，此時函數的解析式為f(x)＝－2x²－8x＋4.