Question

已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，點F₁、F₂分別是橢圓的左、右焦點，在橢圓C的右準線上的點，滿足線段PF₁的中垂線過點F₂．直線l：y=kx+m為動直線，且直線l與橢圓C交于不同的兩點A、B．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若在橢圓C上存在點Q，滿足（O為坐標原點），求實數(shù)λ的取值范圍；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，當λ取何值時，△ABO的面積最大，并求出這個最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用待定系數(shù)法求橢圓的方程，設(shè)橢圓C的方程為，根據(jù)在橢圓C的右準線上的點，滿足線段PF₁的中垂線過點F₂．可得幾何量之間的關(guān)系，進而可得橢圓方程；
（Ⅱ）減法直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0．設(shè)點A、B的坐標分別為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由此可得，根據(jù)，可得
利用點Q在橢圓上，可得方程4m²（1+2k²）=λ²（1+2k²）²．進而可確定實數(shù)λ的取值范圍
（Ⅲ）由于，點O到直線AB的距離，故可表示△AOB的面積，可整理成關(guān)于λ的函數(shù)，進而可求△ABO的面積最大值．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓C的方程為，半焦距為c，
依題意有
解得
∴b=1．
∴所求橢圓方程為．            …3分
（Ⅱ）由，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0．
設(shè)點A、B的坐標分別為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
則…5分．
（1）當m=0時，點A、B關(guān)于原點對稱，則λ=0．
（2）當m≠0時，點A、B不關(guān)于原點對稱，則λ≠0，
由，得即
∵點Q在橢圓上，
∴有，
化簡，得4m²（1+2k²）=λ²（1+2k²）²．
∵1+2k²≠0，
∴有4m²=λ²（1+2k²）．…①…7分
又∵△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-2）=8（1+2k²-m²），
∴由△＞0，得1+2k²＞m²．…②…8分
將①、②兩式，得φ（x）=2elnx（e．∵m≠0，∴λ²＜4，則-2＜λ＜2且λ≠0．
綜合（1）、（2）兩種情況，得實數(shù)λ的取值范圍是-2＜λ＜2． …9分
注：此題可根據(jù)圖形得出當m=0時λ=0，當A、B兩點重合時λ=±2．
如果學生由此得出λ的取值范圍是-2＜λ＜2可酌情給分．
（Ⅲ）∵，點O到直線AB的距離，
∴△AOB的面積==．           …12分
由①有，代入上式并化簡，得．∵，
∴．                    …13分
當且僅當λ²=4-λ²，即時，等號成立．
∴當時，△ABO的面積最大，最大值為． …14分．
點評：本題的考點是直線與圓錐曲線的綜合問題，主要考查待定系數(shù)法求圓錐曲線的方程，要注意橢圓的三個參數(shù)的關(guān)系為：a²=b²+c²；求解直線與橢圓的位置關(guān)系問題，通常是聯(lián)立方程組，利用韋達定理求解．