Question

【題目】已知橢圓C1的方程為，雙曲線C2的左、右焦點(diǎn)分別是C1的左、右頂點(diǎn)，而C2的左、右頂點(diǎn)分別是C1的左、右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．

(1)求雙曲線C2的方程；

(2)若直線l：y＝kx＋與雙曲線C2恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B，且，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析：（1）由兩曲線長軸與焦點(diǎn)關(guān)系，求出雙曲線C2的方程。（2）設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線與雙曲線組方程組，得到韋達(dá)定理關(guān)系，注意判別式控制參數(shù)k范圍。把向量關(guān)系>2，坐標(biāo)化即x1x2＋y1y2>2，代入韋達(dá)可求。

試題解析：(1)設(shè)雙曲線C2的方程為

則a2＝4－1＝3，c2＝4，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1，

故雙曲線C2的方程為－y2＝1.

(2)將y＝kx＋代入－y2＝1，

得(1－3k2)x2－6kx－9＝0.

由直線l與雙曲線C2交于不同的兩點(diǎn)，

得

∴k2<1且k2≠.①

設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，

則x1＋x2＝，x1x2＝.

∴x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋)(kx2＋)

＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋2＝.

又∵>2，即x1x2＋y1y2>2，∴ >2 >2，即>0，

解得<k2<3.②

由①②得<k2<1，

故k的取值范圍為