Question

設函數y=f（x）=x（x-a）（x-b）（a、b∈R）．
（1）若a≠b，ab≠0，過兩點（0，0）、（a，0）的中點作與x軸垂直的直線，與函數y=f（x）的圖象交于點P（x₀，f（x₀）），求證：函數y=f（x）在點P處的切線過點（b，0）．
（2）若a=b（a≠0），且當x∈[0，|a|+1]時f（x）＜2a²恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求切線的斜率，進而得切線方程，由此可得結論；
（2）利用導數研究函數的單調性，進而借助于研究函數的最小值，解決恒成立問題．注意分類討論．

解答：解：（1）由已知P(

a

2

，

a2

4

(b-

a

2

))，…（1分）y'=3x²-（2a+2b）x+ab，…（2分）
所求切線斜率為3(

a

2

)2-(2a+2b)•

a

2

+ab=-

a2

4

，…（3分）
切線方程為y-

a2

4

(b-

a

2

)=-

a2

4

(x-

a

2

)，令y=0，解得x=b，
所以，函數y=f （x）過點P的切線過點（b，0）…（5分）
（2）因為a=b，所以y=f（x）=x（x-a）²，
y′=3x2-4ax+a2=3(x-a)(x-

a

3

)，…（6分）
當a＞0時，函數y=f(x)在(-∞，

a

3

)上單調遞增，在（

a

3

，a）單調遞減，在（a，+∞）上單調遞增．
所以，根據題意有
即

4 27 a3＜2a2 a+1＜2a2

解之得1＜a＜

27

2

或a＜-

1

2

，結合a＞0，所以1＜a＜

27

2

…（9分）
當a＜0時，函數y=f(x)在(

a

3

，+∞)單調遞增．                  …（10分）
所以，根據題意有f（1-a）＜2a²，…（11分）
即（1-a）（1-a-a）²＜2a²，整理得4a³-6a²+5a-1＞0，（*）
令g（a）=4a³-6a²+5a-1，∴g′(a)=12a2-12a+5=12(a-

1

2

)2+2＞0
∴g（a）在區間（-∞，0）單調遞增，又g（0）=-1＜0，所以“*”不等式無解．…（13分）
綜上可知：1＜a＜

27

2

．                               …（15分）

點評：本題以函數為載體，考查導數的幾何意義，考查恒成立問題，注意運用最值法解決恒成立問題．