Question

已知函數在點（1,f(1))處的切線方程為y = 2.
(I)求f(x)的解析式；
(II)設函數若對任意的，總存唯一實數，使得,求實數a的取值范圍.

Answer 1

(I) (II)

試題分析：（Ⅰ）                     ……2分
由在點處的切線方程為，得，
即,解得.故                       ……4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，故在上單調遞增，在上單調遞減,由 ，故的值域為                  ……6分
依題意，記
（ⅰ）當時，，在上單調遞減，依題意由得，故此時                      ……8分
（ⅱ）當時，>>當時，<，當時，>．依題意得：
 或 解得                        ……10分
（ⅲ）當4時，，此時>，在單調遞增．依題意得
 即此不等式組無解                               ……11分
綜上，所求取值范圍為                                 ……12分.
點評：導數是研究函數性質的有力工具，研究函數時，首先要看函數的定義域，求單調區間、極值、最值時，往往離不開分類討論，主要考查學生的分類討論思想的應用和運算求解能力.