Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，O為AD中點，M是棱PC上的點，AD=2BC．
（1）求證：平面POB⊥平面PAD；
（2）若點M是棱PC的中點，求證：PA∥平面BMO．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）由已知得四邊形BCDO為平行四邊形，OB⊥AD，從而BO⊥平面PAD，由此能證明平面POB⊥平面PAD．
（2）連結AC，交BO于N，連結MN，由已知得MN∥PA，由此能證明PA∥平面BMO．

解答： （1）證明：∵AD∥BC，BC=

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AD，O為AD的中點，
∴四邊形BCDO為平行四邊形，∴CD∥BO．    
∵∠ADC=90°，∴∠AOB=90°  即OB⊥AD．
又∵平面PAD⊥平面ABCD  且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴BO⊥平面PAD．∵BO?平面POB，∴平面POB⊥平面PAD．
（2）證明：連結AC，交BO于N，連結MN，
∵AD∥BC，O為AD中點，AD=2BC，
∴N是AC的中點，
又點M是棱PC的中點，∴MN∥PA，
∵PA?平面BMO，MN?平面BMO，
∴PA∥平面BMO．

點評：本題考查面面垂直的證明，考查線面平行的證明，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．