Question

設，對任意實數，記．

（I）求函數的單調區間；

（II）求證：

（）當時，對任意正實數成立；

（）有且僅有一個正實數，使得對任意正實數成立．

Answer 1

本題主要考查函數的基本性質，導數的應用及不等式的證明等基礎知識，以及綜合運用所學知識分析和解決問題的能力．

（I）解：．

由，得

．

因為當時，，

當時，，

當時，，

故所求函數的單調遞增區間是，，

單調遞減區間是．

（II）證明：（i）方法一：

令，則

，

當時，由，得，

當時，，

所以在內的最小值是．

故當時，對任意正實數成立．

方法二：

對任意固定的，令，則

，

由，得．

當時，．

當時，，

所以當時，取得最大值．

因此當時，對任意正實數成立．

（ii）方法一：

．

由（i）得，對任意正實數成立．

即存在正實數，使得對任意正實數成立．

下面證明的唯一性：

當，，時，

，，

由（i）得，，

再取，得，

所以，

即時，不滿足對任意都成立．

故有且僅有一個正實數，

使得對任意正實數成立．

方法二：對任意，，

因為關于的最大值是，所以要使對任意正實數成立的充分必要條件是：

，

即，                             ①

又因為，不等式①成立的充分必要條件是，

所以有且僅有一個正實數，

使得對任意正實數成立．