Question

設函數f（x）=alnx，g（x）=

1

2

x²．
（1）記g′（x）為g（x）的導函數，若不等式f（x）+2g′（x）≤（a+3）x-g（x）在x∈[1，e]上有解，求實數a的取值范圍；
（2）若a=1，對任意的x₁＞x₂＞0，不等式m[g（x₁）-g（x₂）]＞x₁f（x₁）-x₂f（x₂）恒成立．求m（m∈Z，m≤1）的值．

Answer 1

（1）不等式f（x）+2g′（x）≤（a+3）x-g（x），即為alnx+2x≤（a+3）x-

1

2

x2，化簡得：a（x-lnx）≥

1

2

x2-x，
由x∈[1，e]知x-lnx＞0，因而a≥

1 2 x2-x

x-lnx

，設y=

1 2 x2-x

x-lnx

，
由y′=

(x-1)(x-lnx)-(1- 1 x )( 1 2 x2-x)

(x-lnx)2

=

(x-1)( 1 2 x+1-lnx)

(x-lnx)2

，
∵當x∈（1，e）時，x-1＞0，

1

2

x+1-lnx＞0，
∴y′＞0在x∈[1，e]時成立，則y=

1 2 x2-x

x-lnx

遞增，ymin=-

1

2

．
由不等式有解，可得知a≥ymin=-

1

2

，即實數a的取值范圍是[-

1

2

，+∞）．
（2）當a=1，f（x）=lnx．
由m[g（x₁）-g（x₂）]＞x₁f（x₁）-x₂f（x₂）恒成立，得
mg（x₁）-x₁f（x₁）＞mg（x₂）-x₂f（x₂）恒成立，
設t（x）=

m

2

x2-xlnx（x＞0）．
由題意知x₁＞x₂＞0，故當x∈（0，+∞）時函數t（x）單調遞增，
∴t′（x）=mx-lnx-1≥0恒成立，即m≥

lnx+1

x

恒成立，
因此，記y=

lnx+1

x

，得y′=

-lnx

x2

，
∵函數在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減，
∴函數h（x）在x=1時取得極大值，并且這個極大值就是函數h（x）的最大值．
由此可得h（x）_max=h（1）=1，故m≥1，結合已知條件m∈Z，m≤1，可得m=1．．