Question

已知函數f（x）=e^x-ax-a（其中a∈R，e是自然對數的底數，e=2.71828…）．
（Ⅰ）當a=e時，求函數f（x）的極值；
（Ⅱ）若f（x）≥0恒成立，求實數a的取值范圍；
（Ⅲ）求證：對任意正整數n，都有

2

2+1

×

22

22+1

×…×

2n

2n+1

＞

1

e

．

Answer 1

考點：利用導數求閉區間上函數的最值,利用導數研究函數的單調性,利用導數研究函數的極值

專題：計算題,證明題,函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：（Ⅰ） 當a=e時，f（x）=e^x-ex-e，f′（x）=e^x-e，從而由導數的正負確定函數的單調性及極值；
（Ⅱ）求導f′（x）=e^x-a，從而討論確定函數的單調性，由函數的單調性確定函數的最值，從而化恒成立問題為最值問題；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當a=1時，f（x）≥0恒成立，從而可化出ln（x+1）≤x，令x=

1

2n

（n∈N^*），從而得到ln(1+

1

2n

)＜

1

2n

，從而證明．

解答： 解：（Ⅰ） 當a=e時，f（x）=e^x-ex-e，f′（x）=e^x-e，
當x＜1時，f′（x）＜0；當x＞1時，f′（x）＞0．
所以函數f（x）在（-∞，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增，
所以函數f（x）在x=1處取得極小值f（1）=-e，函數f（x）無極大值．

（Ⅱ）由f（x）=e^x-ax-a，f′（x）=e^x-a，
若a＜0，則f′（x）＞0，函數f（x）單調遞增，
當x趨近于負無窮大時，f（x）趨近于負無窮大；
當x趨近于正無窮大時，f（x）趨近于正無窮大，
故函數f（x）存在唯一零點x₀，
當x＜x₀時，f（x）＜0；當x＞x₀時，f（x）＞0．
故a＜0不滿足條件．
若a=0，f（x）=e^x≥0恒成立，滿足條件．
若a＞0，由f′（x）=0，得x=lna，
當x＜lna時，f′（x）＜0；當x＞lna時，f′（x）＞0，
所以函數f（x）在（-∞，lna）上單調遞減，在（lna，+∞）上單調遞增，
所以函數f（x）在x=lna處取得極小值f（lna）=-a•lna，
由f（lna）≥0得-a•lna≥0，
解得0＜a≤1．
綜上，滿足f（x）≥0恒成立時實數a的取值范圍是[0，1]．

（Ⅲ）證明：由（Ⅱ）知，當a=1時，f（x）≥0恒成立，
所以f（x）=e^x-x-1≥0恒成立，
即e^x≥x+1，
所以ln（x+1）≤x，令x=

1

2n

（n∈N^*），
得ln(1+

1

2n

)＜

1

2n

，
則有ln（1+

1

2

）+ln（1+

1

22

）+…+ln（1+

1

2n

）＜

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

=1-

1

2n

＜1，
所以(1+

1

2

)(1+

1

22

)•…•(1+

1

2n

)＜e，
所以

1

(1+ 1 2 )(1+ 1 22 )•…•(1+ 1 2n )

＞

1

e

，
即

2

2+1

×

22

22+1

×…×

2n

2n+1

＞

1

e

．

點評：本題考查了導數的綜合應用及恒成立問題，難點在于證明不等式時函數的構造與化簡，屬于難題．