Question

已知數列{bn}是等差數列，b1＝1，b1＋b2＋…＋b10＝145.

(1)求數列{bn}的通項公式bn；

(2)設數列{an}的通項an＝loga(其中a＞0且a≠1)．記Sn是數列{an}的前n項和，試比較Sn與logabn＋1的大小，并證明你的結論.

 

Answer 1

（1）bn＝3n－2.（2）當a＞1時，Sn＞logabn＋1，當0＜a＜1時，Sn＜logabn＋1

【解析】(1)設數列{bn}的公差為d，

由題意得?∴bn＝3n－2.

(2)由bn＝3n－2，知Sn＝loga(1＋1)＋loga＋…＋loga

＝loga

而logabn＋1＝loga，于是，比較Sn與logabn＋1的大小?比較

(1＋1)與的大小.

取n＝1，有1＋1＝>＝，

取n＝2，有(1＋1)>>＝.

推測(1＋1)…＞，(*)

①當n＝1時，已驗證(*)式成立；

②假設n＝k(k≥1)時(*)式成立，即(1＋1)＞，

則當n＝k＋1時，

(1＋1)>.

∵－＝>0，∴，

從而(1＋1)，即當n＝k＋1時，(*)式成立．由①②知(*)式對任意正整數n都成立．于是，當a＞1時，Sn＞logabn＋1，當0＜a＜1時，Sn＜logabn＋1