Question

已知向量

OP

=(2cos(

π

2

+x)，-1)，

OQ

=(-sin(

π

2

-x)，cos2x)，f(x)=

OP

•

OQ

．a、b、c是銳角三角形△ABC角A、B、C的對邊，且f（A）=1，b+c=5+3

2

，a=

13

．
（1）在所給坐標系下用“五點法”作出y=f（x）（x∈[0，π]）的圖象；
（2）求角A；
（3）求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）由f(x)=

OP

•

OQ

=2cos(x+

π

2

)[-sin(

π

2

-x)]-cos2x=-2sinx•（-cosx）-cos2x=2sin2x-cos2x=

2

sin(2x-

π

4

)，利用五點法即可
（2）由f(A)=

2

sin(2A-

π

4

)=1可得sin(2A-

π

4

)=

2

2

，即2A-

π

4

=

π

4

或2A-

π

4

=

3π

4

，結合ABC為銳角三角形可求
（3）在△ABC中，由余弦定理得：a²=13=b²+c²-2bccosA可求bc，代入三角形的面積公式S=

1

2

bcsinA即可

解答：解：（1）∵f(x)=

OP

•

OQ

=2cos(x+

π

2

)[-sin(

π

2

-x)]-cos2x
=-2sinx•（-cosx）-cos2x=2sin2x-cos2x=

2

sin(2x-

π

4

)
列表如下：

x	0	π 8	3π 8	5π 8	7π 8	π
2x- π 4	- π 4	0	π 2	π	3π 2	7π 4
f（x）	-1	0	2	0	- 2	-1

作出圖象為：

（2）∵f(A)=

2

sin(2A-

π

4

)=1
∴sin(2A-

π

4

)=

2

2

，2A-

π

4

=

π

4

或2A-

π

4

=

3π

4

∴A=

π

4

或A=

π

2

（舍去，∵△ABC為銳角三角形）．
∴A=

π

4

．
（3）在△ABC中，由余弦定理得：a²=13=b²+c²-2bccosA
∴13=(b+c)2-2bc-

2

bc
∴bc=15

2

∴S△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×15

2

×

2

2

=

15

2

．

點評：本題以向量的數量積的坐標表示為載體，借助三角函數的二倍角公式及輔助角公式，考查了正弦函數的五點作圖法及正弦函數的性質及正弦與余弦定理解三角形等知識的綜合應用．