Question

【題目】已知橢圓：的離心率為，圓的圓心與橢圓C的上頂點重合，點P的縱坐標為．

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）若斜率為2的直線l與橢圓C交于A，B兩點，探究：在橢圓C上是否存在一點Q，使得，若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）不存在.

【解析】

（2）求出圓心的坐標，得到.結合橢圓的離心率及列方程組，解方程組求得的值，進而求得橢圓的標準方程.（2）首先假設存在這樣的點，設出的坐標以及直線的方程，得到兩點的坐標，代入，聯立直線的方程和橢圓方程，求得判別式.將點坐標代入橢圓方程，同樣求其判別式.兩次求得的判別式沒有交集，故不存在這樣的點.

（1）由橢圓的離心率，則，b2=a2﹣c2=c2，

由x2+y2﹣2y=0的標準方程x2+（y﹣1）2=1，則b=1，c=1，a=，

∴橢圓的標準方程：；

（2）假設存在Q，使得滿足，

設A（x1，y1），B（x2，y2）．直線l：y=2x+m，

則Q（x0，y0），P（p，），則=（x1﹣p，y1﹣），=（x0﹣x2，y0﹣y2），

由，則，

，則，整理得：9x2+8mx+2m2﹣2=0，

則△=（8m）2﹣4×9×（2m2﹣2）=8（9﹣m2）＞0，解得：﹣3＜m＜3，①

則x1+x2=﹣m，y1+y2=2（x1+x2）+2m=m， 則x0=﹣m﹣p，y0=m﹣，

由Q（x0，y0）在橢圓上，則x02+2y02=2，

∴（﹣m﹣p）2+2（m﹣）2=2，整理得：9p2+16mp+8m2﹣m+32=0有解，

則△2=（16m）2﹣4×9（8m2﹣m+32）=648﹣32（m﹣）2≥0，

解得：3≤m≤12，② ①②無交集，因此不存在Q，使得．