Question

（本題滿分14分）

如圖，已知正三棱柱—的底面邊長是，是側棱的中點，直線與側面所成的角為．

     （Ⅰ）求此正三棱柱的側棱長；

（Ⅱ） 求二面角的大小；

（Ⅲ）求點到平面的距離．

Answer 1

（本小題滿分14分）

解：（Ⅰ）設正三棱柱—的側棱長為．取中點，連．

是正三角形，．

又底面側面，且交線為．

側面．

連，則直線與側面所成的角為．   ……………2分

在中，，解得．       …………3分

此正三棱柱的側棱長為．                         ……………………4分

 注：也可用向量法求側棱長．

（Ⅱ）解法1：過作于，連，

側面．

為二面角的平面角．           ……………………………6分

在中，，又

，  ．

又

在中，．               …………………………8分

故二面角的大小為．               …………………………9分

解法2：（向量法，見后）

（Ⅲ）解法1：由（Ⅱ）可知，平面,平面平面，且交線為，過作于，則平面．                      …………10分

在中，．         …………12分

為中點，點到平面的距離為．       …………14分

解法2：（思路）取中點，連和，由，易得平面平面，且交線為．過點作于，則的長為點到平面的距離．

解法3：（思路）等體積變換:由可求．

解法4：（向量法，見后）

題（Ⅱ）、（Ⅲ）的向量解法：

（Ⅱ）解法2：如圖，建立空間直角坐標系．

則．

設為平面的法向量．

由 得．

取                                       …………6分

又平面的一個法向量                          …………7分

．   …………8分

結合圖形可知，二面角的大小為．         …………9分

（Ⅲ）解法4：由（Ⅱ）解法2，…………10分

點到平面的距離＝．14分