Question

【題目】已知函數f（x）=﹣（x﹣2m）（x+m+3）（其中m＜﹣1），g（x）=2x﹣2．
（1）若命題“log2g（x）＜1”是真命題，求x的取值范圍；
g（x）＜0．若p∧q是真命題，求m的取值范圍．
（2）設命題p：x∈（1，+∞），f（x）＜0或g（x）＜0；命題q：x∈（﹣1，0），f（x

Answer 1

【答案】
（1）解：由log2g（x）＜1，得log2（2x﹣2）＜1，即0＜2x﹣2＜2，解得1＜x＜2．

∴命題“log2g（x）＜1”是真命題，x的取值范圍是1＜x＜2；

（2）解：∵x∈（1，+∞），g（x）=2x﹣2＞0，

∴若命題p：x∈（1，+∞），f（x）＜0或g（x）＜0為真命題，則

x∈（1，+∞），f（x）＜0，即

x∈（1，+∞），﹣（x﹣2m）（x+m+3）＜0，也就是（x﹣2m）（x+m+3）＞0．

即 或 ，

解得：﹣4 ；

∵x∈（﹣1，0），g（x）=2x﹣2＞0，

∴命題q：x∈（﹣1，0），f（x）g（x）＜0，即x∈（﹣1，0），f（x）＞0．

也就是x∈（﹣1，0），（x﹣2m）（x+m+3）＜0．

即[（﹣1﹣2m）（2+m）][（﹣2m）（m+3）]＜0．

解得：﹣3＜m＜﹣2或﹣ ＜m＜0．

若p∧q是真命題，則m的取值范圍為：﹣3＜m＜﹣2

【解析】（1）把g（x）代入log2g（x）＜1，求解對數不等式和指數不等式得到x的范得答案；（2）由題意知x∈（1，+∞），g（x）＜0為假命題，則x∈（1，+∞），f（x）＜0為真命題，然后利用三個二次結合列關于m的不等式組求得m的范圍；再由命題q：x∈（﹣1，0），f（x）g（x）＜0，得x∈（﹣1，0），（x﹣2m）（x+m+3）＜0，求出m的范圍，結合p∧q是真命題，取交集得m的取值范圍．
【考點精析】關于本題考查的命題的真假判斷與應用，需要了解兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系才能得出正確答案．