Question

【題目】設向量 ， ，x∈R，記函數 ．
（1）求函數f（x）的單調遞增區間；
（2）在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若 ， ，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ =sinxcosx+ （sinx﹣cosx）（sinx+cosx）= sin2x﹣ cos2x=sin（2x﹣ ），

∴令2kπ﹣ ≤2x﹣ ≤2kπ+ ，k∈Z，解得：kπ﹣ ≤x≤kπ+ ，k∈Z，

∴函數f（x）的單調遞增區間為：[kπ﹣ ，kπ+ ]，k∈Z

（2）解：∵ ，

∴sin（2A﹣ ）= ，結合△ABC為銳角三角形，可得：2A﹣ = ，

∴A= ，

∵在△ABC中，由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：2=b2+c2﹣ bc≥（2﹣ ）bc，（當且僅當b=c時等號成立）

∴bc≤ =2+ ，

又∵sinA=sin = ，

∴S△ABC= bcsinA= bc≤ （2+ ）= ，（當且僅當b=c時等號成立）

∴△ABC面積的最大值為

【解析】（1）利用平面向量數量積的運算，三角函數恒等變換的應用化簡可求f（x）=sin（2x﹣ ），令2kπ﹣ ≤2x﹣ ≤2kπ+ ，k∈Z，即可解得f（x）的單調遞增區間．（2）由已知可求sin（2A﹣ ）= ，結合△ABC為銳角三角形，可得A，利用余弦定理，基本不等式可求bc≤2+ ，進而利用三角形面積公式即可計算得解．
【考點精析】認真審題，首先需要了解余弦定理的定義(余弦定理:;;)．