Question

已知函數f（x）=a^x+1-3（a＞0且a≠1）的反函數的圖象恒過定點A，且點A在直線mx+ny+1=0上，若m＞0，n＞0．則

1

m

+

2

n

的最小值為

 

．

Answer 1

分析：最值問題經常利用均值不等式求解，適時應用“1”的代換是解本題的關鍵．函數y=a^x+1-3（a＞0，a≠1）的反函數圖象恒過定點A，知A（-2，-1），點A在直線mx+ny+1=0上，得2m+n=1又mn＞0，∴m＞0，n＞0，下用1的變換構造出可以用基本不等式來求求最值．

解答：解：由已知定點A坐標為（-2，-1），由點A在直線mx+ny+1=0上，
∴-2m-n+1=0，即2m+n=1，
又mn＞0，∴m＞0，n＞0，
∴

1

m

+

2

n

=(

1

m

+

2

n

)(2m+n)=

2m+n

m

+

4m+2n

n

=4+

n

m

+

4m

n

≥4+2•

n m • 4m n

=8，
當且僅當m=

1

4

，n=

1

2

時取等號．
故答案為8

點評：當均值不等式中等號不成立時，常利用函數單調性求最值．也可將已知條件適當變形，再利用均值不等式，使得等號成立．均值不等式是不等式問題中的確重要公式，應用十分廣泛．在應用過程中，學生常忽視“等號成立條件”，特別是對“一正、二定、三相等”這一原則應有很好的掌握．