Question

【題目】已知橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn)

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)與圓相切于點(diǎn)，且與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn).

①求證： ；

②當(dāng)為何值時(shí)， 取得最大值？并求出最大值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)①.證明見(jiàn)解析；②.答案見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：(1)橢圓的離心率為，又橢圓過(guò)已知點(diǎn)，即，再加上，聯(lián)立可求得；（2）直線(xiàn)與圓及橢圓都相切，因此可以把直線(xiàn)方程與橢圓方程(或圓方程)聯(lián)立方程組，此方程組只有一解，由此可得到題中參數(shù)的關(guān)系式，當(dāng)然直線(xiàn)與圓相切，可利用圓心到直線(xiàn)的距離等于圓的半徑來(lái)列式，得到的兩個(gè)等式中消去參數(shù)即可證得①式；而②要求的最大值，可先求出，注意到，因此，這里設(shè)，由①中的方程(組)可求得，最終把用表示， ，利用不等式知識(shí)就可求得最大值.

試題解析：(1)橢圓E的方程為4分

（2）①因?yàn)橹本�(xiàn)與圓C: 相切于A,得,

即① 5分

又因?yàn)?/span>與橢圓E只有一個(gè)公共點(diǎn)B，

由得,且此方程有唯一解.

則即

②由①②,得8分

②設(shè)，由得

由韋達(dá)定理,

∵點(diǎn)在橢圓上,∴

∴10分

在直角三角形OAB中,

∴12分