Question

已知函數(shù)f（x）=ln（x+1）+ax²-x，a∈R．
（Ⅰ）當(dāng)a=

1

4

時(shí)，求函數(shù)y=f（x）的極值；
（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)b∈（1，2），使得當(dāng)x∈（-1，b]時(shí)，函數(shù)f（x）的最大值為f（b）？若存在，求實(shí)數(shù)a的取值范圍，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）當(dāng)a=

1

4

時(shí)，f(x)=ln(x+1)+

1

4

x2-x，則f′(x)=

1

x+1

+

1

2

x-1，化簡得f′(x)=

x(x-1)

2(x+1)

（x＞-1），從而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，極值點(diǎn)，求出極值．
（Ⅱ）由題意分別求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再討論①當(dāng)a≤0時(shí)②當(dāng)a＞0時(shí)的情況，最后確定出a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)a=

1

4

時(shí)，f(x)=ln(x+1)+

1

4

x2-x，
則f′(x)=

1

x+1

+

1

2

x-1，
化簡得f′(x)=

x(x-1)

2(x+1)

（x＞-1）
∴函數(shù)f（x）在（-1，0），（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（0，1）上單調(diào)遞減，
且f（0）=0，f(1)=ln2-

3

4

，
∴函數(shù)y=f（x）在x=1處取到極小值為ln2-

3

4

，在x=0處取到極大值為0；
（Ⅱ）由題意f′(x)=

x(2ax-(1-2a))

x+1

①當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）在（-1，0）上單調(diào)遞增，在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
此時(shí)，不存在實(shí)數(shù)b∈（0，1），使得當(dāng)x∈（-1，b]時(shí)，函數(shù)f（x）的最大值為f（b）；
②當(dāng)a＞0時(shí)，令f'（x）=0有x=0或x=

1

2a

-1，
（a）當(dāng)

1

2a

-1＜0即a＞

1

2

時(shí)，
函數(shù)f（x）在(-1，

1

2a

-1)和（0，+∞）上單調(diào)遞增，
在(

1

2a

-1，0)上單調(diào)遞減，
要存在實(shí)數(shù)b∈（0，1），使得當(dāng)x∈（-1，b]時(shí)，函數(shù)f（x）的最大值為f（b），
則f(

1

2a

-1)＜f(1)，代入化簡得ln2a+

1

4a

+ln2-1＞0（1）
令g(a)=ln2a+

1

4a

+ln2-1(a＞

1

2

)，
因g′(a)=

1

a

(1-

1

4a

)＞0恒成立，
故恒有g(a)＞g(

1

2

)=ln2-

1

2

＞0，
∴a＞

1

2

時(shí)，（1）式恒成立；
（b）當(dāng)

1

2a

-1＞0即0＜a＜

1

2

時(shí)，函數(shù)f（x）在（-1，0）和(

1

2a

-1，+∞)上單調(diào)遞增，
在(0，

1

2a

-1)上單調(diào)遞減，
此時(shí)由題，只需f（1）＞0，解得a＞1-ln2，
又1-ln2＜

1

2

，
∴此時(shí)實(shí)數(shù)a的取值范圍是1-ln2＜a＜

1

2

；
（c）當(dāng)a=

1

2

時(shí)，函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上單調(diào)遞增，顯然符合題意；
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（1-ln2，+∞）．

點(diǎn)評：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，滲透了分類討論思想，是一道綜合題．