Question

在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB＝2，AA₁＝，點D為AC的中點，點E在線段AA₁上．

(1)當AE∶EA₁＝1∶2時，求證DE⊥BC₁；
(2)是否存在點E，使二面角D-BE-A等于60°，若存在求AE的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）見解析（2）存在

(1)證明:連接DC₁，因為ABC-A₁B₁C₁為正三棱柱，所以△ABC為正三角形，又因為D為AC的中點，所以BD⊥AC，又平面ABC⊥平面ACC₁A₁，所以BD⊥平面ACC₁A₁，所以BD⊥DE.因為AE∶EA₁＝1∶2，AB＝2，AA₁＝，所以AE＝，AD＝1，所以在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，在Rt△DCC₁中，∠C₁DC＝60°，所以∠EDC₁＝90°，即ED⊥DC₁，又BD∩DC₁＝D，所以ED⊥平面BDC₁，BC₁?面BDC₁，所以ED⊥BC₁.
(2)解　假設存在點E滿足條件，設AE＝h.
取A₁C₁的中點D₁，連接DD₁，則DD₁⊥平面ABC，所以DD₁⊥AD，DD₁⊥BD，分別以DA，DB，DD₁所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系D-xyz，則A(1,0,0)，B(0，，0)，E(1,0，h)，所以＝(0，，0)，＝(1,0，h)，＝(－1，，0)，＝(0,0，h)，設平面DBE的一個法向量為n₁＝(x₁，y₁，z₁)，
則，令z₁＝1，得n₁＝(－h,0,1)，同理，平面ABE的一個法向量為n₂＝(x₂，y₂，z₂)，則，∴n₂＝(，1,0)．
∴cos〈n₁，n₂〉＝＝cos 60°＝.解得h＝<，故存在點E，當AE＝時，二面角D-BE-A等于60°.