Question

設(shè)定義在R上函數(shù)f（x）滿足f（-x）=f（x），f（x）=f（2-x），x∈[0，1]，f（x）=x³且f（x-1）=cosπx，x∈[-2，4]有實(shí)數(shù)根之和為（　�。�

• A、6
• B、8
• C、10
• D、12

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)條件判斷函數(shù)的奇偶性和周期性，利用函數(shù)和方程之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結(jié)合以及函數(shù)的對(duì)稱性即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵f（-x）=f（x），∴函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，
∵f（x）=f（2-x），
∴f（x）=f（2-x）=f（x-2），
即函數(shù)f（x）是周期為2的周期函數(shù)，
則f（x）的簡(jiǎn)圖如圖（虛線），
將函數(shù)f（x）向右平移1個(gè)單位，得到函數(shù)f（x-1）的圖象（紅線），則函數(shù)f（x-1）關(guān)于x=1對(duì)稱，
∵y=cosπx的圖象也關(guān)于x=1對(duì)稱，
∴由圖象可知函數(shù)y=f（x-1）和y=cosπx，x∈[-2，4]共有10個(gè)交點(diǎn)，它們彼此關(guān)于x=1對(duì)稱，
設(shè)對(duì)稱的兩個(gè)實(shí)根為a，b，
則a+b=2，
故所有的實(shí)根之和為5×2=10，
故選：，C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)奇偶性和對(duì)稱性的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．綜合考查函數(shù)的性質(zhì)．