Question

已知兩點、分別在直線和上運動，且，動點滿足(為坐標原點)，點的軌跡記為曲線.

(1) 求曲線的方程；

(2) 過曲線上任意一點作它的切線，與橢圓交于M、N兩點，         求證：為定值.

Answer 1

【命題意圖】本小題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與圓、橢圓的相關知識.

【試題解析】解：⑴(方法一)設

∵，∴是線段的中點，∴　　　　    (2分)

∵，∴，∴.

∴化簡得點的軌跡的方程為.                                         (5分)

(方法二)∵，∴為線段的中點. 　　　　　　　　  　(2分)

∵、分別在直線和上，∴.

又，∴，∴點在以原點為圓心，為半徑的圓上.

∴點的軌跡的方程為.                                                     (5分)

       ⑵證明：當直線l的斜率存在時，設l y＝kx＋m，

∵l與C相切，∴＝，∴.

聯立，∴.

設M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1·x2＝，.　　　　  　　(8分)

∴·＝x1x2＋y1y2＝.

又，∴·＝0.　　　　　　　　　　　　　　　　   (10分)

當直線l的斜率不存在時，l的方程為x＝±，帶入橢圓方程得

M(，)，N(，－) 或 M(－，)，N(－，－)，

此時，·＝－＝0.

綜上所述，·為定值0.                                       (12分)