Question

（2012•貴溪市模擬）設(shè)a，b，m為整數(shù)（m＞0），若a和b被m除得的余數(shù)相同，則稱a和b對m同余，記為a=b（bmodm），已知a=1+C₂₀¹+C₂₀²2+C₂₀³2²+…+C₂₀²⁰2¹⁹，b=a（bmod10），則b的值可以是（　　）

A．2010

B．2011

C．2012

D．2009

Answer 1

分析：根據(jù)已知中a和b對模m同余的定義，結(jié)合二項式定理，我們可以求出a的值，結(jié)合b=a（bmod10），比照四個答案中的數(shù)字，結(jié)合得到答案．

解答：解：∵a=1+C₂₀¹+C₂₀²•2+C₂₀³•2²+…+C₂₀²⁰•2¹⁹
=

1

2

（1+2）²⁰+

1

2

=

1

2

×3²⁰+

1

2

，
∵3²⁰=（3²）¹⁰=（10-1）¹⁰=10¹⁰-

C

1 10

×10⁹+

C

2 10

×10⁸-…-

C

9 10

×10¹+1，其個位是1，
∴3²⁰個位是1，
∴

1

2

×3²⁰+

1

2

個位是1，
∴a個位是1．
若b=a（bmod10），
則b的個位也是1
故選B．

點評：本題考查的知識點是同余定理，其中正確理解a和b對模m同余，是解答本題的關(guān)鍵，同時利用二項式定理求出a的值，也很關(guān)鍵．