Question

（2013•青浦區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）是定義在R上的單調(diào)增函數(shù)且為奇函數(shù)，數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，a₁₀₀₇＞0，則f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a₂₀₁₂）+f（a₂₀₁₃）的值（　　）

A．恒為正數(shù)

B．恒為負(fù)數(shù)

C．恒為0

D．可正可負(fù)

Answer 1

分析：由題意可得f（0）=0，且當(dāng)x＞0，f（0）＞0； 當(dāng)x＜0，f（0）＜0．由數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，a₁₀₀₇＞0，可得f（a₁₀₀₇）＞0  可得 a₁+a₂₀₁₃=2a₁₀₀₇＞0，故f（a₁）+f（a₂₀₁₃）＞0，同理可得，f（a₂）+f（a₂₀₁₂）＞0，f（a₃）+f（a₂₀₁₁）＞0，…，從而得到所求式子的符號(hào)．

解答：解：∵函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)且是增函數(shù)數(shù)列，∴f（0）=0，且當(dāng)x＞0，f（0）＞0； 當(dāng)x＜0，f（0）＜0．
∵數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，a₁₀₀₇＞0，故f（a₁₀₀₇）＞0．
再根據(jù) a₁+a₂₀₁₃=2a₁₀₀₇＞0，∴f（a₁）+f（a₂₀₁₃）＞0．
同理可得，f（a₂）+f（a₂₀₁₂）＞0，f（a₃）+f（a₂₀₁₁）＞0，…，
∴f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a₂₀₁₂）+f（a₂₀₁₃）＞0，
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．