Question

（理科）若函數f（x）=|sinx|（x≥0）的圖象與直線y=kx僅有三個公共點，且其橫坐標分別為α，β，γ（α＜β＜γ），給出下列結論：
①k=-cosγ；
②γ∈（π，

3π

2

）；
③γ=tanγ；  
④sin2γ=

2γ

1+γ2

，
其中正確的結論是（　　）

A．①②③

B．③④

C．②④

D．①②③④

Answer 1

分析：可作出函數f（x）=|sinx|與直線y=kx僅有三個公共點的圖象，利用導數與斜率的坐標公式可分別求得k，進一步分析即可得到答案．

解答：解：函數f（x）=|sinx|的圖象與直線y=kx僅有三個公共點，其圖象如下（k＞0的情形）：

由圖可知：
由圖知，π＜γ＜

3π

2

所以此時y=-sinx，由于直線在此段上與y=-sinx相切，切點處的導數為=-cosγ，故有k=-cosγ，①正確；
由圖知，

π

2

＜β＜π＜γ＜

3π

2

，故②正確，
∵直線y=kx與 y=-sinx 相切，
∴k=

-sinγ

γ

，同時，由 y′=-cosx，
∴-

sinγ

γ

=-cosγ，所以 γ=tanγ，故③正確；
∴由萬能公式可得sin2γ=

2tanγ

1+tan2γ

=

2γ

1+γ2

，故④正確．
故選D．

點評：本題考查考查正弦函數的圖象，考查導數的幾何意義與萬能公式，屬于難題