Question

如圖，焦距為2的橢圓D的兩個頂點分別為A和B，且

AB

與

n

=(

2

，-1)共線．
（Ⅰ）求橢圓D的標準方程；
（Ⅱ）過點M（0，m）且斜率為

2

的直線l與橢圓D有兩個不同的交點P和Q，若以PQ為直徑的圓經過原點O，求實數m的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設橢圓E的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)，由已知得A（a，0）、B（0，b），故

AB

=(-a，b)，由

AB

與

n

=(

2

，-1)共線，知a=

2

b，由此能求出橢圓E的標準方程．
（Ⅱ）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），把直線方程y=

2

x+m代入橢圓方程

x2

2

+y2=1，得，5x2+4

2

mx+2m2-2=0，故x1+x2=-

4 2 m

5

，x1x2=

2m2-2

5

，△=32m²-20（2m²-2）=-8m²+40＞0，故m²＜5．由以PQ為直徑的圓經過原點O知

OP

•

OQ

=0，由此能求出實數m的值．

解答：解：（Ⅰ）設橢圓E的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)，
由已知得A（a，0）、B（0，b），
∴

AB

=(-a，b)，
∵

AB

與

n

=(

2

，-1)共線，
∴a=

2

b，又a²-b²=1（3分）
∴a²=2，b²=1，
∴橢圓E的標準方程為

x2

2

+y2=1（5分）
（Ⅱ）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
把直線方程y=

2

x+m代入橢圓方程

x2

2

+y2=1，
消去y，得，5x2+4

2

mx+2m2-2=0，
∴x1+x2=-

4 2 m

5

，x1x2=

2m2-2

5

（7分）
△=32m²-20（2m²-2）=-8m²+40＞0，
∴m²＜5（8分）
∵以PQ為直徑的圓經過原點O，
∴

OP

•

OQ

=0，即x₁x₂+y₁y₂=0（9分）
又y1y2=(

2

x1+m)(

2

x1+m)=2x1x2+

2

m(x1+x2)+m2=

4m2-4

5

-

8m2

5

+m2
由x₁x₂+y₁y₂=0得

4m2-4-8m2+5m2+2m2-2

5

=0，
∴m²=2＜5（11分）
∴m=±

2

（12分）

點評：本題考查橢圓標準方程的求法和求實數的值，綜合性強，難度大，是高考的重點，解題時要認真審題，仔細解答．