Question

已知函數.
（Ⅰ）當時，討論的單調性；
（Ⅱ）設時，若對任意，存在，使，求實數的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）當時，函數在（０，１）上單調遞減；
函數在（１，＋∞）上單調遞增；
當時，函數在（0，+∞）上單調遞減；
當時，函數在（0，1）上單調遞減； 
函數在上單調遞增；
函數上單調遞減，
（Ⅱ）

試題分析：（Ⅰ）因為
所以
令
（1）當
所以，當，函數單調遞減；
當時，，此時單調遞
（2）當
即，解得
①當時，恒成立，
此時，函數在（0，+∞）上單調遞減；
②當
時，單調遞減；
時，單調遞增；
，此時，函數單調遞減；
③當時，由于
時，，此時，函數單調遞減；
時，，此時，函數單調遞增。
綜上所述：
當時，函數在（０，１）上單調遞減；
函數在（１，＋∞）上單調遞增；
當時，函數在（0，+∞）上單調遞減；
當時，函數在（0，1）上單調遞減； 
函數在上單調遞增；
函數上單調遞減，
（Ⅱ）因為，由（Ⅰ）知，
，當，
函數單調遞減；當時，
函數單調遞增，所以在（0，2）上的最小值為
由于“對任意，存在，使”等價于
“在[1，2]上的最小值不大于在（0，2）上的最小值” （*）
又，所以
①當時，因為，此時與（*）矛盾；
②當時，因為，同樣與（*）矛盾；
③當時，因為
解不等式，可得
綜上，的取值范圍是
點評：典型題，本題屬于導數應用中的基本問題，恒成立問題，往往通過“分離參數”，轉化成求函數的最值。涉及對數函數，要特別注意函數的定義域。