Question

設(shè)F₁、F₂分別為橢圓C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F₂的直線(xiàn)l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，直線(xiàn)l的傾斜角為60°，F(xiàn)₁到直線(xiàn)l的距離為2.
(1)求橢圓C的焦距；
(2)如果＝2，求橢圓C的方程．

Answer 1

設(shè)焦距為2c，則F₁(－c,0)，F(xiàn)₂(c,0)
∵k_l＝tan60°＝
∴l(xiāng)的方程為y＝ (x－c)
即：x－y－c＝0
∵F₁到直線(xiàn)l的距離為2
∴c＝2
∴橢圓C的焦距為4
(2)設(shè)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)由題可知y₁＜0，y₂＞0
直線(xiàn)l的方程為y＝ (x－2)
(3a²＋b²)y²＋4b²y－3b²(a²－4)＝0
∵＝2，∴－y₁＝2y₂，代入①②得
得＝　　　　 ⑤
又a²＝b²＋4　　　　　　　 　　⑥
由⑤⑥解得a²＝9　b²＝5
∴橢圓C的方程為＝1

略