Question

給出下列命題：
①函數y=sin|x|的最小正周期為π；
②若函數f(x)=log2(x2-ax+1)的值域為R，則-2＜a＜2；
③若函數f（x）對任意x∈R都有f（x）=-f（2-x），且最小正周期為3，則f（x）的圖象關于點(-

1

2

，0)對稱；
④極坐標方程 4sin²θ=3 表示的圖形是兩條相交直線；
⑤若函數f(x)=(1+x)

1

x

(x＞0)，則存在無數多個正實數M，使得|f（x）|≤M成立；
其中真命題的序號是

③④⑤

．（寫出所有正確命題的序號）

Answer 1

分析：對于①，由于函數y=sin|x|不是周期函數，故排除之．對于②，由題意知對于二次函數y=x²-ax+1，應有△=a²-4＞0，解得a的范圍即可進行判斷；對于③，若函數f（x）對任意x∈R都有f（x）=-f（2-x），則 f（x）+f（2-x）=0．再由f（x）的最小正周期為3，可得f（x）的圖象關于點（1，0）對稱，故③正確．對于④，將極坐標方程 4sin²θ=3 化成直角坐標方程后判斷．⑤先畫出函數f(x)=(1+x)

1

x

(x＞0)的圖象，從圖象上觀察可知．

解答：解：由于函數y=sin|x|不是周期函數，故排除①．
若函數f(x)=log2(x2-ax+1)的值域為R，則對于二次函數y=x²-ax+1，應有△=a²-4＞0，解得 a＜-2，或 a＞2，故排除②．
若函數f（x）對任意x∈R都有f（x）=-f（2-x），則 f（x）+f（2-x）=0．再由f（x）的最小正周期為3，可得 f（x-3）+f（2-x）=0．
由于

(x-3)+(2-x)

2

=-

1

2

，故f（x）的圖象關于點（1，0）對稱，故③正確．
由于極坐標方程 4sin²θ=3 即 4ρ²sin²θ=3ρ²，即 4y²=3（x²+y²），即 y=±

3

x，故表示的圖形是兩條相交直線，故④正確．
⑤如圖，從函數f(x)=(1+x)

1

x

(x＞0)的圖象上觀察可知，當x＞0時，其最大值不超過3，
故當M＞3時，即存在無數多個正實數M，使得|f（x）|≤M成立；故⑤正確．
其中真命題的序號是 ③④⑤．
故答案為：③④⑤．

點評：本小題主要考查命題的真假判斷與應用、函數周期性的應用、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．