Question

（12分）已知函數(shù)f（x）＝lnx－（a≠0）

    （1）若a＝3，b＝－2，求f（x）在［，e］的最大值；

    （2）若b＝2，f（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的范圍．

 

Answer 1

【答案】

 (1)當(dāng)且僅當(dāng)x=1，f(x)_max=f(1)=a-b=-+2= ；

(2) a的范圍(-1,0)(0,+)

 

【解析】本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。求解函數(shù)的最值和函數(shù)單調(diào)性的逆向運(yùn)用。

（1）由于=，然后分析當(dāng)a＝3，b＝－2,時(shí)的導(dǎo)數(shù)，分別為正和負(fù)的取值范圍，得到單調(diào)性，然后求解極值，和最值。

 

（2）因?yàn)閒(x)存在遞減區(qū)間，f′(x)<0有解那么即等價(jià)于ax²+2x-1>0有x>0的解，利用對(duì)參數(shù)a討論得到范圍。

解：(1) =-ax-b=-3x+2==-

 當(dāng)時(shí)  f′(x)0；   1<xe     f′(x)<0

當(dāng)且僅當(dāng)x=1，f(x)_max=f(1)=a-b=-+2=……5分

(2) = -ax-2=

f(x)存在遞減區(qū)間，f′(x)<0有解

ax²+2x-1>0有x>0的解…………7分

a>0,顯然滿足…………9分

a<0時(shí)，則△=4+4a>0且ax²+2x-1=0至少有一個(gè)正根，此時(shí)-1<a<0……11分

a的范圍(-1,0)(0,+) …………12分