Question

已知函數f（x）的定義域為R，對任意的x₁，x₂都滿足f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂），當x＜0時，f（x）＜0．
（1）判斷并證明f（x）的單調性和奇偶性
（2）是否存在這樣的實數m，當θ∈[0，

π

2

]時，使不等式f[sin2θ-(2+m)(sinθ+cosθ)-

4

sinθ+cosθ

]+f(3+2m)＞0
對所有θ恒成立，如存在，求出m的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）令x=y=0，有f（0）=0，令x₁=x，x₂=-x，可得 f（-x）=-f（x），故f（x）為奇函數．利用增函數的定義可證
f（x）是增函數．
（2）要使f[sin2θ-(2+m)(sinθ+cosθ)-

4

sinθ+cosθ

]+f(3+2m)＞0，令t=sinθ+cosθ，由θ∈[0，

π

2

]，
可得 m＞

t(2-t)+ 2 t (2-t)

2-t

=t+

2

t

在t∈[1，

2

]上恒成立，故m應大于或等于t+

2

t

的最大值，利用單調性求得
t+

2

t

的最大值．

解答：解：（1）令x=y=0，有f（0）=0，令x₁=x，x₂=-x，有f（-x）+f（x）=f（x-x）=f（0）=0，
即f（-x）=-f（x），故f（x）為奇函數．
在R上任取x₁＜x₂，則x₁-x₂＜0，由題意知f（x₁-x₂）＜0，則f（x₁-x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（x₁）-f（x₂）＜0，
故f（x）是增函數．
（2）要使f[sin2θ-(2+m)(sinθ+cosθ)-

4

sinθ+cosθ

]+f(3+2m)＞0，
只須 f[sin2θ-(2+m)(sinθ+cosθ)-

4

sinθ+cosθ

]＞-f(3+2m)=f(-3-2m)．        
又由f（x）為單調增函數有 sin2θ-(2+m)(sinθ+cosθ)-

4

sinθ+cosθ

＞-3-2m．
令t=sinθ+cosθ，則sin2θ=t²-1，∵θ∈[0，

π

2

]，∴t=

2

sin(θ+

π

4

)∈[1，

2

]．
原命題等價于 t2-1-(m+2)t-

4

t

+3+2m＞0對t∈[1，

2

] 恒成立，
∴(2-t)m＞2t-t2+

4

t

-2，即m＞

t(2-t)+ 2 t (2-t)

2-t

=t+

2

t

，
令g(t)=t+

2

t

，g(t)在[1，

2

]上為減函數，故 g（t）的最大值為3，∴m＞3時，原命題成立．

點評：本題考查抽象函數的性質，函數的值域及函數的恒成立問題，把問題轉化為 m＞

t(2-t)+ 2 t (2-t)

2-t

=t+

2

t

在
t∈[1，

2

]上恒成立，是解題的難點．