Question

已知y=f（x）是定義域為(

1

2

，+∞)的可導函數(shù)，f（1）=f（3）=1，f（x）的導數(shù)為f′（x），且x∈(

1

2

，2)時，f′（x）＜0；x∈（2，+∞）時，f′（x）＞0，則不等式組

-2≤x-2y≤ 1 2 f(2x+y)≤1

所表示的平面區(qū)域的面積等于（　　）

• A．

  1

  5

• B．

  3

  5

• C．

  1

  2

• D．1

Answer 1

分析：此題關鍵是找出可行域，已知y=f（x）是定義域為(

1

2

，+∞)的可導函數(shù)，f（1）=f（3）=1，f（x）的導數(shù)為f′（x），且x∈(

1

2

，2)時，f′（x）＜0；x∈（2，+∞），說明f（x）在x=2處取得極小值，若f（2x+y）≤1，可得1≤2x+y≤3，畫出可行域，根據(jù)線性規(guī)劃問題進行求解；

解答：解：∵y=f（x）是定義域為(

1

2

，+∞)的可導函數(shù)，f（1）=f（3）=1，f（x）的導數(shù)為f′（x），且x∈(

1

2

，2)時，f′（x）＜0；x∈（2，+∞）時，f′（x）＞0，
說明f（x）在（

1

2

，2）為減函數(shù)，在（2，+∞）為增函數(shù)，在x=2取得極小值，
因為f（1）=f（3）=1，要使f（2x+y）≤1，可得1≤2x+y≤3①，
結(jié)合-2≤x-2y≤

1

2

②畫出滿足條件①②的可行域可得：

可知直線x-2y+2=0與2x+y=1、2x+y=3垂直，
所表示的平面區(qū)域是一個長方形，邊長等于點（0，1）到直線2x+y=3的距離：d=

|1-3|

1+4

=

2

5

，
另一條邊等于：

1+ 1 4

=

5

2

所以面積S=

2

5

×

5

2

=1，
故選D；

點評：此題是一道線性規(guī)劃問題，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，找出可行域，是解決此題的關鍵，此題是一道好題！