Question

（2012•吉林二模）如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PA⊥面ABCD，且PA=AD=2，點M，N分別在PD，PC上，

PN

=

1

2

NC

，PM=MD．
（Ⅰ） 求證：PC⊥面AMN；
（Ⅱ）求二面角B-AN-M的余弦值．

Answer 1

分析：（1）要證線面垂直：常用線面垂直的判定定理，即讓PC垂直于面AMN中的兩條相交直線；除此之外，由于四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PA⊥面ABCD，故可建立空間直角坐標系．即用向量法解決幾何問題．
（2）求二面角的平面角的余弦值借助于面的法向量來做，即要分別找出面ABN和面AMN的法向量．

解答：解：（1）（法一）∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥CD，
又∵CD⊥AD，PA∩AD=A，∴CD⊥面PAD．∵AM?面PAD，∴CD⊥AM
∵M是PD的中點，且PA=AD=2，
∴AM⊥PD，又∵PD∩CD=D
∴AM⊥面PCD，而PC?面PCD，∴PC⊥AM．
∵

PN

=

1

2

NC

，∴點N是PC的三等分點．
∵PC=

PA2+AC2

=

22+(2 2 )2

=2

3

，∴PN=

2 3

3

．
∵

PN

PA

=

PA

PC

=

3

3

，∠APN=∠CPA，∴△PAN=△PCA，∴∠ANP=90°，
∴AN⊥PC，又PC⊥AM且AM∩AN=A，∴PC⊥面AMN．
（法二））∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥CD，
又∵CD⊥AD，PA∩AD=A，∴CD⊥面PAD．∵AM?面PAD，∴CD⊥AM
∵M是PD的中點，且PA=AD=2，
∴AM⊥PD，又∵PD∩CD=D
∴AM⊥面PCD，而PC?面PCD，∴PC⊥AM．∴AN⊥PC，又PC⊥AM且AM∩AN=A，∴PC⊥面AMN．
由于四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PA⊥面ABCD，故可以建立分別以AB，AB，AP為X軸，Y軸，Z軸的空間直角坐標系．
∵PA=AD=2，∴P（0，0，2），D（0，2，0），B（2，0，0），∴M（0，1，1），C（2，2，0），
∴

PC

=(2，2，-2)，

AM

=(0，1，1)，

∵PC

•

AM

=0+2-2=0，∴PC⊥AM，
設N（x，y，z），∵

PN

=

1

2

NC

，求得N(

2

3

，

2

3

，

4

3

)，
∵

PC

•

AN

=

4

3

+

4

3

-

8

3

=0，∴AN⊥PC．
又PC⊥AM，且AM∩AN=A，∴PC⊥面AMN．
（2）設平面BAN的法向量為

n

=(x，y，z)，∵

n • AB =0 n • AN =0

，∴

n

=(0，2，-1)．
∵

PC

=(2，2，-2)是平面AMN的法向量，∴cos＜

n

，

PC

＞=

n • PC

| n |•| PC |

=

15

5

，
∴二面角B=AN-M的余弦值為-

15

5

．

點評：本小題主要考查空間線面關系、二面角的度量等知識，考查數形結合、化歸與轉化的數學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力；用空間向量的方法證明立體幾何問題是我們理科生特別要重點掌握的內容．