Question

（2013•門頭溝區一模）已知函數f（x）=

2，        x≥0 x2+4x+2，  x＜0

的圖象與直線y=k（x+2）-2恰有三個公共點，則實數k的取值范圍是（　�。�

A．（0，2）

B．（0，2]

C．（-∞，2）

D．（2，+∞）

Answer 1

分析：首先根據函數的表達式f（x）=

2，        x≥0 x2+4x+2，  x＜0

畫出函數的圖象，從而根據圖象判斷函數與直線的公共點的情況，最后結合兩曲線相切與圖象恰有三個不同的公共點的關系即可求得實數k的取值范圍．

解答：解：畫出函數f（x）=

2，        x≥0 x2+4x+2，  x＜0

，（如圖）．
由圖可知，當恒過拋物線的項點（-2，-2）的直線y=k（x+2）-2與函數的圖象相切時，即直線y=k（x+2）-2的斜率k=0時，恰有一個公共點；
當直線y=k（x+2）-2過（0，2）時，k=

2-(-2)

0-(-2)

=2時，恰有二個公共點．
故函數f（x）=

2，        x≥0 x2+4x+2，  x＜0

的圖象與直線y=k（x+2）-2恰有三個公共點，則實數k的取值范圍是0＜k＜2．
故選A．

點評：本題主要考查函數的圖象的交點以及數形結合方法，數形結合是數學解題中常用的思想方法，本題由于使用了數形結合的方法，使得問題便迎刃而解，且解法簡捷．