Question

已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的圖象和y軸交于（0，1）且y軸右側的第一個最大值、最小值點分別為P（x₀，2）和Q（x₀+3π，-2）．
（1）求函數y=f（x）的解析式及x₀；
（2）求函數y=f（x）的單調遞減區間；
（3）如果將y=f（x）圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的

1

3

（縱坐標不變），然后再將所得圖象沿x軸負方向平移

π

3

個單位，最后將y=f（x）圖象上所有點的縱坐標縮短到原來的

1

2

（橫坐標不變）得到函數y=g（x）的圖象，寫出函數y=g（x）的解析式并給出y=|g（x）|的對稱軸方程．

Answer 1

分析：（1）由y軸右側的第一個最大值、最小值點分別為P（x₀，2）和Q（x₀+3π，-2）可得其周期，振幅．從求得A=2，ω=

1

3

，再由令圖象和y軸交于（0，1）求得?從而和到函數解析式．
（2）由正弦函數的單調區間，則有

π

2

+2kπ≤

1

3

x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ(k∈Z)解得．
（3）據題意，按照如下思路：y=2sin（

1

3

x+

π

6

）?y=2sin（x+

π

6

）?y=2sin（x+

π

2

）?g（x）=sin（x+

π

2

）．

解答：解：（1）由y軸右側的第一個最大值、最小值點分別為P（x₀，2）和Q（x₀+3π，-2）．
T=6π，A=2，ω=

1

3

（4分）
令x=0，則1=2sin?
∵|?|＜

π

2

∴?=

π

6

（5分）
∴函數式為y=2sin（

1

3

x+

π

6

）
令y=2，則x₀=π（6分）
（2）

π

2

+2kπ≤

1

3

x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ(k∈Z)（10分）
π+6kπ≤x≤4π+2kπ（k∈Z）
∴函數y=f（x）的單調遞減區間為[π+6kπ，4π+6kπ]（k∈Z）（11分）
（3）由題意得：y=2sin（

1

3

x+

π

6

）?y=2sin（x+

π

6

）?y=2sin（x+

π

2

）?g（x）=sin（x+

π

2

）（14分）
y=|g（x）|的對稱軸方程為x=kπ（k∈Z）（16分）

點評：本題主要考查形如：f（x）=Asin（ωx+φ）中各參數的意義及其單調區間的求法和圖象的變換．