Question

【題目】已知函數，.

（Ⅰ）若恒成立，求的取值范圍；

（Ⅱ）設，，（為自然對數的底數）.是否存在常數，使恒成立，若存在，求出的取值范圍；若不存在,請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】試題分析: （Ⅰ）利用函數的導數求出函數的最小值,根據最小值大于 就能 求出 的取值范圍;（Ⅱ）此恒成立問題轉化為 小于等于 的最小值,在求函數的最小值時,運用了二次求導.

試題解析:（Ⅰ）由已知得，的定義域為，且

當時，恒成立，

∴，由得，

得的取值范圍為.

（Ⅱ）由已知得，，其定義域為.

，

∵，∴在上單調遞減，在上單調遞增，

∴，

令，則，

再令，則

∵，∴.

∴在上單調遞減，∴

∴，且，

即存在，使在上單調遞增，在上單調遞減，

則的最小值就是和中較小的那個，

又，∴，

∴恒成立，即

∴存在實數使恒成立，取值范圍為.

點睛:本題考查利用導數研究函數的單調性與最值,對數函數的性質及分類討論思想,利用導數研究函數的單調性時要注意先求函數的定義域,若所求的導數含有參數,在進行討論時要做到分類標準統一,對參數的討論要不重不漏.