Question

一個空間幾何體G-ABCD的三視圖如圖所示，其中A_i，B_i，C_i，D_i，G_i（i=1，2，3）分別是A，B，C，D，G在直立、側立、水平三個投影面內的投影．在視圖中，四邊形A₁B₂C₃D₄為正方形，且A₁B₂=2a；在側視圖中，A₂D₂⊥A₂G₂；在俯視圖中，G₃D₃=G₃C₃=2

2a

.
（Ⅰ）根據三視圖畫出幾何體的直觀圖，并標明A，B，C，D，G五點的位置；
（Ⅱ）證明：平面AGD⊥平面BGC；
（Ⅲ）求三棱錐D-ACG的體積．

Answer 1

分析：（1）由三視圖我們可以判斷這個幾何體是四棱錐，又由四邊形A₁B₂C₃D₄為正方形，且A₁B₂=2a；在側視圖中，A₂D₂⊥A₂G₂；在俯視圖中，G₃D₃=G₃C₃=．我們易畫出幾何體的直觀圖．
（2）由（1）的直觀圖我們易判斷AG⊥平面BCG，根據面面垂直的判斷定理，我們易得到平面AGD⊥平面BGC；
（3）利用轉化思想，三棱錐D-ACG的體積可轉化為三棱錐G-ACD的體積，根據（1）中分析出的棱長關系，我們易代入求出三棱錐D-ACG的體積．

解答：解：（Ⅰ）空間幾何體的直觀圖如圖所示，
且可得到平面ABCD⊥平面ABG，四邊形
ABCD為正方形，AG=BG=

2

a，AB=2a，
故AG⊥BG（4分）
（Ⅱ）∵平面ABCD⊥平面ABG，
面ABCD∩平面ABG=AB，CB⊥AB，
∴CB⊥平面ABG，故CB⊥AG（6分）
又AG⊥BG，∴AG⊥平面BGC．
∴平面AGD⊥平面BGC（8分）
（Ⅲ）過G作GE⊥AB，垂足為E，
則GE⊥平面ABCDVD-AGC=VG-ADC=

1

3

×

1

2

AD×DC×GE=

1

6

•(2a)2•a=

2

3

a3．（12分）

點評：本題考查的知識點是由三視圖求體積，根據三視圖分析出幾何體的形狀及相關棱的長度和棱的關系是解答本題的關鍵．