Question

【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， 且a1=1，Sn+1﹣2Sn=1（n∈N*）．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{bn}滿足bn=n+ ，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：a1=1，Sn+1﹣2Sn=1，

即為Sn+1+1=2（Sn+1），

即有數(shù)列{Sn+1}是以S1+1=2，2為公比的等比數(shù)列，

則Sn+1=22n﹣1=2n，

即Sn=2n﹣1，n∈N*，

當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣1﹣（2n﹣1﹣1）=2n﹣1，

上式對(duì)n=1也成立，

則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n﹣1，n∈N*

（2）解：bn=n+ =n+n（ ）n﹣1，

前n項(xiàng)和Tn=（1+2+3+…+n）+[11+2（ ）+3（ ）2+…+n（ ）n﹣1]，

設(shè)Mn=11+2（ ）+3（ ）2+…+n（ ）n﹣1，

Mn=1 +2（ ）2+3（ ）3+…+n（ ）n，

相減可得， Mn=1+ +（ ）2+（ ）3+…+（ ）n﹣1﹣n（ ）n

= ﹣n（ ）n，

化簡可得Mn=4﹣（n+2）（ ）n﹣1，

則Tn= n（n+1）+4﹣（n+2）（ ）n﹣1

【解析】（1）由題意可得Sn+1+1=2（Sn+1），即有數(shù)列{Sn+1}是以S1+1=2，2為公比的等比數(shù)列，運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和數(shù)列的遞推式，可得所求通項(xiàng)公式；（2）求出bn=n+ =n+n（ ）n﹣1 ， 運(yùn)用數(shù)列的求和方法：分組求和和錯(cuò)位相減法，結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，化簡計(jì)算即可得到所求和．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解數(shù)列的前n項(xiàng)和(數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系)，還要掌握數(shù)列的通項(xiàng)公式(如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵．