Question

設(shè)A是單位圓上任意一點(diǎn)，是過點(diǎn)與軸垂直的直線，是直線與軸的交點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且滿足，當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記點(diǎn)的軌跡為曲線。

（1）求曲線的方程，判斷曲線為何種圓錐曲線，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)。

（2）過原點(diǎn)斜率為的直線交曲線于兩點(diǎn)，其中在第一象限，且它在軸上的射影為點(diǎn)，直線交曲線于另一點(diǎn)，是否存在,使得對(duì)任意的，都有？若存在，請(qǐng)說明理由。

 

Answer 1

【答案】

 （1）兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為，

（2）

【解析】本題主要考察求曲線的軌跡方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，要求能正確理解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)，并能熟練運(yùn)用代數(shù)方法解決幾何問題，對(duì)運(yùn)算能力有較高要求。

（Ⅰ）如圖1，設(shè)，，則由，

可得，，所以，.            ①

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912404492137869/SYS201207091241230463305611_DA.files/image011.png">點(diǎn)在單位圓上運(yùn)動(dòng)，所以.                  ②

將①式代入②式即得所求曲線的方程為.        

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912404492137869/SYS201207091241230463305611_DA.files/image015.png">，所以當(dāng)時(shí)，曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為，；當(dāng)時(shí)，曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為，.

（Ⅱ）解法1：如圖2、3，，設(shè)，，則，，

直線的方程為，將其代入橢圓的方程并整理可得

.

依題意可知此方程的兩根為，，于是由韋達(dá)定理可得，即.因?yàn)辄c(diǎn)H在直線QN上，所以.

于是，.     

而等價(jià)于，即，又，得，

故存在，使得在其對(duì)應(yīng)的橢圓上，對(duì)任意的，都有.

 

解法2：如圖2、3，，設(shè)，，則，，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912404492137869/SYS201207091241230463305611_DA.files/image048.png">，兩點(diǎn)在橢圓上，所以 兩式相減可得

.                          ③             

依題意，由點(diǎn)在第一象限可知，點(diǎn)也在第一象限，且，不重合，

故. 于是由③式可得

.                              ④

又，，三點(diǎn)共線，所以，即.                

于是由④式可得.

而等價(jià)于，即，又，得，

故存在，使得在其對(duì)應(yīng)的橢圓上，對(duì)任意的，都有.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系；考查分類討論的數(shù)學(xué)思想以及運(yùn)算求解的能力.本題是一個(gè)橢圓模型，求解標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)注意對(duì)焦點(diǎn)的位置分類討論，不要漏解；對(duì)于探討性問題一直是高考考查的熱點(diǎn)，一般先假設(shè)結(jié)論成立，再逆推所需要求解的條件，對(duì)運(yùn)算求解能力和邏輯推理能力有較高的要求.