Question

已知矩陣A=

a k 0 1

（k≠0）的一個(gè)特征向量為α=

k -1

，A的逆矩陣A^-1對(duì)應(yīng)的變換將點(diǎn)（3，1）變?yōu)辄c(diǎn)（1，1）．求實(shí)數(shù)a，k的值．

Answer 1

考點(diǎn)：逆變換與逆矩陣

專題：選作題,矩陣和變換

分析：利用特征值與特征向量的定義，可求a；利用A的逆矩陣A^-1對(duì)應(yīng)的變換將點(diǎn)（3，1）變?yōu)辄c(diǎn)（1，1），可求k的值．

解答：解：設(shè)特征向量為α=

k -1

，對(duì)應(yīng)的特征值為λ，則

a k 0 1

k -1

=λ

k -1

，即

ak-k=λk λ=1.

因?yàn)閗≠0，所以a=2． …（5分）
因?yàn)锳^-1

3 1

=

1 1

，所以A

1 1

=

3 1

，即

2 k 0 1

1 1

=

3 1

，
所以2+k=3，解得k=1．
綜上，a=2，k=1．…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二階矩陣，以及特征值與特征向量的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．