Question

平面直角坐標系中，已知點P₀（1，0），P₁（2，1），且

PnPn+1

=-

1

2

Pn-1Pn

（n∈N^*）．當n→+∞時，點P_n無限趨近于點M，則點M的坐標為

 

．

Answer 1

分析：由題設條件知

PnPn+1

=-

1

2

Pn-1Pn

=(-

1

2

)n（1，1）．再由

lim

n→∞

(-

1

2

)n（1，1）=（1，1）能得到M點的坐標．

解答：解：∵

PnPn+1

=-

1

2

Pn-1Pn

（n∈N^*），
=(-

1

2

)n

P0P1

=(-

1

2

)n(

OP1

-

OP0

)=(-

1

2

)n（1，1）．
∴P₂（2-

1

2

，1-

1

2

），P₃（2-

1

2

+(-

1

2

)2，1-

1

2

+(-

1

2

)2），…，P_n（2-

1

2

+(-

1

2

)2+…+(-

1

2

)n-1，1-

1

2

+(-

1

2

)2+…+(-

1

2

)n-1）
∴P_n（2+

- 1 2 [1-(- 1 2 )n-1]

1+ 1 2

，1+

- 1 2 [1-(- 1 2 )n-1]

1+ 1 2

，），
∵點P_n無限趨近于點M，
∴點M的坐標為（

5

3

，

2

3

）
故答案為（

5

3

，

2

3

）．

點評：本題考查數列的極限和應用，解題時要注意向量的坐標運算．同時考查了運算能力和分析歸納推理能力，屬中檔題題．