Question

已知公差為d的等差數(shù)列{a_n}和公比q＜0的等比數(shù)列{b_n}，a₁=b₁=1，a₂+b₂=1，a₃+b₃=4．
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令C_n=2 an+a_nb_n，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由題意聯(lián)立方程組解得公差與公比，即可得出結(jié)論；
（2）利用等比數(shù)列的求和公式及錯位相減法即可求得數(shù)列的和．

解答： 解：（1）由題意得

1+d+q=1 1+2d+q2=4

，解得d=1，q=-1，
∴a_n=n，b_n=（-1）^n-1；
（2）C_n=2 an+a_nb_n=2ⁿ+n（-1）^n-1，
∴s_n=c₁+c₂+…+c_n=（2+2²+…+2ⁿ）+[1•（-1）⁰+2•（-1）¹+…+n•（-1）^n-1]
令T_n=1•（-1）⁰+2•（-1）¹+…+n•（-1）^n-1，①
-T_n=1•（-1）¹+2•（-1）²+…+（n-1）•（-1）^n-1+n•（-1）ⁿ②，
①-②得，2T_n=（-1）⁰+（-1）¹+…+（-1）^n-1-n•（-1）ⁿ=

1-(-1)n

2

-n•（-1）ⁿ=

1

2

-

(2n+1)(-1)n

2

，
∴T_n=

1

4

-

(2n+1)(-1)n

4

，
∴s_n=

2(1-2n)

1-2

+

1

4

-

(2n+1)(-1)n

4

=2ⁿ⁺¹-

(2n+1)(-1)n

4

-

7

4

．

點(diǎn)評：本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)及數(shù)列求和的方法等知識，考查學(xué)生的基本運(yùn)算能力，屬難題．