Question

已知數列{a_n}有a₁?a，a₂?p （常數p＞0），對任意的正整數n，S_n?a₁a₂…a_n，并有S_n滿足Sn=

n(an-a1)

2

．
（1）求a的值；
（2）試確定數列{a_n}是否是等差數列，若是，求出其通項公式，若不是，說明理由；
（3）對于數列{b_n}，假如存在一個常數b使得對任意的正整數n都有b_n＜b，且

lim

n→∞

bn=b，則稱b為數列{b_n}的“上漸進值”，求數列

an-1

an+1

的“上漸進值”．

Answer 1

（1）由 a=a₁=s₁ 和 Sn=

n(an-a1)

2

，
可得a1= 

1×(a1-a1)

2

=0，∴a=0．
（2）∵Sn=

n(an-a1)

2

=

nan

2

，∴Sn-1=

(n-1) •an-1

2

．
作差可得 S_n-S_n-1=

nan

2

-

(n-1) •an-1

2

，又S_n-S_n-1=a_n，化簡可得 

an

an-1

=

n-1

n-2

．
∴a_n =k（n-1），故數列{a_n}是等差數列．
顯然滿足a₁=0，a₂ =p=k•（2-1），∴k=p．
∴a_n =p（n-1）=pn-p．
故故數列{a_n}的通項為a_n =p（n-1），是首項為0，公差為p的等差數列．
（3）∵

an-1

an+1

=

(pn-p)-1

(pn-p)+1

＜1，

lim

n→∞

(pn-p)-1

(pn-p)+1

=1，
故數列{

an-1

an+1

} 的“上漸進值”為1．