Question

（文科）已知函數f(x)=

1

3

ax3+bx2+2x-1，g(x)=-x2+x+1，若函數f（x）的圖象與函數g（x）的圖象的一個公共點P的橫坐標為1，且兩曲線在點P處的切線互相垂直．
（1）求實數a，b的值；
（2）對任意x₁，x₂∈[-1，1]，不等式f（x₁）+k＜g（x₂）恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由g(1)=1=f(1)=

1

3

a+b+1⇒a+3b=0．知g'（x）=-2x+1，g'（1）=-1．由兩雙曲線在點P處的切線互相垂直，知f'（1）=1．由此能求出實數a，b的值．
（2）由f（x）=-x³+x²+2x-1，對任意的x₁，x₂∈[-1，1]，f（x₁）+k＜g（x₂）恒成立，知f（x）_max+k＜g（x）_min（x∈[-1，1]），由f'（x）=-3x²+2x+2，知函數f（x）在[-1，

1- 7

3

]上遞減，在[

1- 7

3

，1]上遞增．由此能求出實數k的取值范圍．

解答：（文科）解：（1）∵g(1)=1=f(1)=

1

3

a+b+1⇒a+3b=0．
又g'（x）=-2x+1，∴g'（1）=-1．
∵兩雙曲線在點P處的切線互相垂直，
∴f'（1）=1．
∵f'（x）=ax²+2bx+2，
∴f'（1）=a+2b+2=1，
∴

a+3b=0 a+2b+1=0

⇒a=-3，b=1．
（2）∵f（x）=-x³+x²+2x-1
對任意的x₁，x₂∈[-1，1]，f（x₁）+k＜g（x₂）恒成立，
∴f（x）_max+k＜g（x）_min（x∈[-1，1]），
∵f'（x）=-3x²+2x+2，
則f'（x）＞0得

1- 7

3

＜x＜

1+ 7

3

，
∴函數f（x）在[-1，

1- 7

3

]上遞減，在[

1- 7

3

，1]上遞增
而f（-1）=-1，f（1）=1，
∴f（x）_max=f（1）=1，
而g(x)=-x2+x+1=-(x-

1

2

)2+

5

4

當x∈[-1，1]時，g（x）_min=g（-1）=1
故1+k＜-1，
k＜-2，
∴實數k的取值范圍是（-∞，-2）．

點評：本題考查利用導數求閉區間上函數最值的應用，考查運算求解能力，考查論證推理能力，綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．