Question

【題目】設數列{an}滿足：an+1=an2﹣nan+1，n=1，2，3，…
（1）當a1=2時，求a2 ， a3 ， a4并由此猜測an的一個通項公式；
（2）當a1≥3時，證明對所有的n≥1，有
①an≥n+2
② ．

Answer 1

【答案】
（1）解：由a1=2，得a2=a12﹣a1+1=3

由a2=3，得a3=a22﹣2a2+1=4

由a3=4，得a4=a32﹣3a3+1=5

由此猜想an的一個通項公式：an=n+1（n≥1）

（2）解：（i）用數學歸納法證明：

①當n=1時，a1≥3=1+2，不等式成立．

②假設當n=k時不等式成立，即ak≥k+2，那么ak+1=ak（ak﹣k）+1≥（k+2）（k+2﹣k）+1=2k+5≥k+3．

也就是說，當n=k+1時，ak+1≥（k+1）+2

據①和②，對于所有n≥1，有an≥n+2．

（ii）由an+1=an（an﹣n）+1及（i）可得：

對k≥2，有ak=ak﹣1（ak﹣1﹣k+1）+1≥ak﹣1（k﹣1+2﹣k+1）+1=2ak﹣1+1

ak≥2k﹣1a1+2k﹣1﹣2+1=2k﹣1（a1+1）﹣1

于是 ，k≥2

【解析】本題考查的知識點是歸納推理和數學歸納法．（1）由列{an}滿足：an+1=an2﹣nan+1，n=1，2，3，…及a1=2，我們易得到a2 ， a3 ， a4的值，歸納數列中每一項的值與序號的關系，我們可以歸納推理出an的一個通項公式．（2）①an≥n+2的證明可以使用數學歸納法，先證明n=1時不等式成立，再假設n=k時不等式成立，進而論證n=k+1時，不等式依然成立，最終得到不等式an≥n+2恒成立．②的證明用數學歸納法比較復雜，觀察到不等式的結構形式，可采用放縮法進行證明．
【考點精析】關于本題考查的歸納推理和數學歸納法的定義，需要了解根據一類事物的部分對象具有某種性質,退出這類事物的所有對象都具有這種性質的推理,叫做歸納推理；數學歸納法是證明關于正整數n的命題的一種方法才能得出正確答案．