Question

【題目】已知焦點在x軸上的雙曲線C的兩條漸近線過坐標原點，且兩條漸近線與以點為圓心，1為半徑的圓相切，又知C的一個焦點與P關于直線對稱.

（1）求雙曲線C的方程；

（2）設直線與雙曲線C的左支交于A、B兩點，另一直線經過及AB的中點，求直線在y軸上的截距b的取值范圍；

（3）若Q是雙曲線C上的任一點，、為雙曲線C的左、右兩個焦點，從引的角平分線的垂線，垂足為N，試求點N的軌跡方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3），.

【解析】

（1）設雙曲線的漸近線方程為，則，由該直線與圓相切，知雙曲線的兩條漸近線方程為．由此利用雙曲線的一個焦點為，能求出雙曲線的方程．

（2）由，得．令．直線與雙曲線左支交于兩點，等價于方程在上有兩個不等實根．由此能求出直線在軸上的截距的取值范圍．

（3）若在雙曲線的右支上，則延長到，使，若在雙曲線的左支上，則在上取一點，使．由此能求出點的軌跡方程．

（1）設雙曲線的漸近線方程為，則，

該直線與圓相切，

雙曲線的兩條漸近線方程為．

故設雙曲線的方程為．

又雙曲線的一個焦點為，

，．

雙曲線的方程為．

（2）由，得．

令

直線與雙曲線左支交于兩點，等價于方程在上有兩個不等實根．

因此，解得．

又中點為，

因為直線與軸相交，所以，即，

直線的方程為．

令，得．

，

，

．

（3）若在雙曲線的右支上，

則延長到，使，

若在雙曲線的左支上，

則在上取一點，使．

根據雙曲線的定義，

所以點在以為圓心，2為半徑的圓上，

即點的軌跡方程是①

由于點是線段的中點，

設，，．

則，即．

代入①并整理得點的軌跡方程為.