Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=5，AC=4，BC=3，AA₁=4，點D在棱AB上．

(1)求證：AC⊥B₁C；
（2）若D是AB中點，求證：AC₁∥平面B₁CD.

Answer 1

(1)詳見解析；（2）詳見解析

試題分析：（1）要證明AC⊥B₁C，根據線面垂直的判定定理，只要轉化證明AC⊥平面BB₁C₁C即可；
（2）要證明AC₁∥平面B₁CD，根據線面的判定定理，只要轉換證明DE//AC₁即可.
試題解析：(1)證明：在△ABC中，因為AB=5，AC=4，BC=3，
所以AC²+BC²=AB²，所以AC⊥BC．

因為直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，所以CC₁⊥AC，
因為BC∩AC=C，所以AC⊥平面BB₁C₁C．
所以AC⊥B₁C．   6分
（2）連結BC₁，交B₁C于E，連接DE．
因為直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，D是AB中點，所以側面BB₁C₁C為矩形，
DE為△ABC₁的中位線，所以DE//AC₁．
因為DE平面B₁CD，AC₁平面B₁CD，所以AC₁∥平面B₁CD．   12分