Question

已知圓的方程是x²+y²=2,直線y=x+b,當b為何值時,圓與直線有兩個公共點,只有一個公共點,沒有公共點.

Answer 1

解法一:若直線l:y=x+b和圓x²+y²=2有兩個公共點,只有一個公共點,沒有公共點,

則方程組有兩個不同解,有兩個相同解,沒有實數解.

方程組消去y,得2x²+2bx+b²-2=0.

所以Δ=(2b)²-4×2(b²-2)=16-4b².

所以當Δ=16-4b²＞0,即-2＜b＜2時,圓與直線有兩個公共點;

當Δ=16-4b²=0,即b=±2時,圓與直線只有一個公共點;

當Δ=16-4b²＜0,即b＞2或b＜-2時,圓與直線沒有公共點.

解法二:圓x²+y²=2的圓心C的坐標為(0,0),半徑長為,圓心C到直線l:y=x+b的距離d=.

當d＞r時,即＞,即|b|＞2,即b＞2或b＜-2時,圓與直線沒有公共點;

當d=r時,即=,即|b|=2,即b=±2時,圓與直線只有一個公共點;

當d＜r時,即＜,即|b|＜2,即-2＜b＜2時,圓與直線有兩個公共點.

點評:由于圓的特殊性判斷圓與直線的位置關系,多采用判斷圓心到直線的距離與半徑的大小之間的關系;而以后我們將要學習的圓錐曲線與直線位置關系的判斷,則需要利用方程組解的個數來判斷.