【題目】已知函數
（
），
.
（1）若
的圖象在
處的切線恰好也是
圖象的切線.
①求實數
的值；
②若方程
在區間
內有唯一實數解，求實數
的取值范圍.
（2）當
時，求證：對于區間
上的任意兩個不相等的實數
， 
，都有
成立.
【答案】（1）①
, 
；（2）詳見解析
【解析】試題分析：（1）①首先求函數
的圖象在
處的切線， 
， 
，又因為切點為
，所以切線方程為
，于是問題轉化為直線
與函數
圖象相切，于是可以根據直線與拋物線相切進行解題；②問題轉化為方程
在區間
內有唯一實數解，參變量分離得
，設
， 
，研究
的單調性、極值，轉化為直線
與
有且只有一個交點，（2）當
時， 
在
上單調遞增， 
在
上單調遞增，設
，則
， 
，于是問題轉化為
，構造函數
，通過函數
在
上單調遞減，可以求出
的取值范圍.
試題解析：①
，∴
， 
，切點為
，
∴切線方程為
，即
，
聯立
，消去
，可得
， 
，
∴
；
②由
，得
，
設
， 
，則問題等價于
與
的圖象在
上有唯一交點，
∵
，∴
， 
，函數單調遞增， 
， 
，函數單調遞減，
∵
， 
，且
時， 
，
∴
；
證明：（2）不妨設
，則
， 
，
∴
可化為
∴
設
，即
，∴
在
上單調遞減，
∴
恒成立，即
在
上恒成立，
∵
，∴
，
從而，當
時，命題成立.
孟建平錯題本系列答案
超能學典應用題題卡系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f（x）=x3-3ax+e，g（x）=1-lnx，其中e為自然對數的底數.
（I）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線l：x+2y=0垂直，求實數a的值；
（II）設函數F（x）=-x[g（x）+
x-2]，若F（x）在區間（m,m+1）（m∈Z）內存在唯一的極值點，求m的值；
（III）用max{m，n}表示m，n中的較大者，記函數h（x）=max{f（x），g（x）}（x>0）. 若函數h（x）在（0，+∞）上恰有2個零點，求實數a的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】畫出下列函數的圖像，并根據圖像說出函數y=f(x)的單調區間，以及在各單調區間上函數y=f(x)是增函數還是減函數。
(1)y=x2－5x－6; (2)y=|4－x2|.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，已知曲線
： 
，以平面直角坐標系
的原點
為極點， 
軸的正半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標系，已知直線
： 
.
（1）將曲線
上的所有點的橫坐標、縱坐標分別伸長為原來的
、2倍后得到曲線
，求
的參數方程；
（2）在曲線
上求一點
，使點
到直線
的距離最大，并求出此最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在△ABC中，BA=BC，以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點D、E，BC的延長線于⊙O的切線AF交于點F．
（1）求證：∠ABC=2∠CAF；
（2）若
，CE∶EB=1∶4，求CE的長．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的離心率為
，以原點
為圓心，橢圓
的長半軸長為半徑的圓與直線
相切．
（Ⅰ）求橢圓
的標準方程；
（Ⅱ）已知點
，
為動直線
與橢圓
的兩個交點，問：在
軸上是否存在定點
，使得
為定值？若存在，試求出點
的坐標和定值；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知矩形
的對角線交于點
，邊
所在直線的方程為
，點
在邊
所在的直線上.
（1）求矩形
的外接圓的方程；
（2）已知直線
（
），求證：直線
與矩形
的外接圓恒相交，并求出相交的弦長最短時的直線
的方程.
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