Question

已知在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對的邊，且cosA(

3

sinA-cosA)=

1

2

．
①求角A的大小．
②若a=2

2

，S△ABC=2

3

，求b，c．

Answer 1

分析：①把已知等式的左邊去括號后，分別利用二倍角的正弦、余弦函數公式化簡，再利用兩角和與差的正弦函數公式變形，得出sin（2A-

π

6

）的值為1，根據A為三角形的內角，利用特殊角的三角函數值即可求出A的度數；
②利用三角形的面積公式表示出三角形ABC的面積，將sinA及已知的面積代入求出bc的值，利用余弦定理得到a²=b²+c²-2bccosA，根據完全平方公式變形后，將cosA，a及bc的值代入，求出b+c的值，將bc=8與b+c=2

2

聯立組成方程組，求出方程組的解集即可得到b與c的值．

解答：解：①∵cosA（

3

sinA-cosA）=

1

2

，
∴

3

sinAcosA-cos²A=

3

2

sin2A-

1

2

（1+cos2A）=

3

2

sin2A-

1

2

cos2A-

1

2

=

1

2

，
即sin（2A-

π

6

）=1，又A為三角形的內角，
∴2A-

π

6

=

π

2

，
解得：A=

π

3

；
②∵a=2

2

，S_△ABC=2

3

，sinA=

3

2

，
∴

1

2

bcsinA=2

3

，即bc=8①，
由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-3bc，
即8=（b+c）²-24，解得：b+c=4

2

②，
聯立①②，解得：b=c=2

2

．

點評：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識有：二倍角的正弦、余弦函數公式，兩角和與差的正弦函數公式，三角形的面積公式，余弦定理，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握公式及定理是解本題的關鍵．